관찰하고 추측하기

1. 그림을 그릴 때 화판을 받치는 삼각 모양의 틀(이젤)은 다리가 세 개다. 마치 세 개의 다리가 한 지점에서 모인 모습이다. 이 세 개의 다리는 지면의 굴곡에 따라 적절히 조절될 수 있다.(그림 2) 이런 모양의 생활용품에는 어떤 것들이 있을까? 지게, 카메라 삼각대, 측량에서 쓰이는 삼각다리 등이 있다. 물체가 안정적이기 위해서는 다리가 최소한 세 개가 필요한 걸까?

2. 테트라포드를 잘 살펴보면 정사면체의 무게중심과 각 꼭지점을 네 개의 선분으로 연결한 모양이다. 이 선분들의 결합으로 얻어지는 네 개의 각(결합각)은 약 109.5도이다. 그런데 가운데 검은 부분을 탄소(C), 네 개의 흰 부분을 수소(H)라고 하면 메탄(CH)의 분자구조가 된다.(그림 3) 테트라포드 모양은 왜 정사면체 구조를 닮았을까? 방파제를 보호하고 파도나 해일을 막아 내려면 구조물이 잘 굴러가지 않아야 하고 무게중심이 아래에 있을수록 좋다. 수학적으로 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 정다면체는 정사면체와 정육면체이다. 정사면체의 무게중심이 정육면체의 무게중심보다 아래에 있어서 더 안정적이다.

조금 더 생각하기

1. 정사면체 모양을 구성하는 정삼각형 모양으로 재미있는 실험을 해 보자. 두꺼운 종이 위에 정삼각형 ABC를 그려서 오려 낸다. 두 변 AB, AC을 이등분한 점을 D, E라 하고 변 BC를 4등분한 점 중 꼭지점에 가까운 점을 각각 F, G라고 하자. 선분 DG와 선분 EF를 그려서 오려 내면 처음의 정삼각형은 네 개의 조각이 된다.(그림 4 ) 이 조각들을 다시 결합하면 사각형이 된다.(그림 5) 삼각형에서 사각형으로, 사각형에서 삼각형으로 변신이 가능한 셈이다.

2. 이번엔 정사면체 모양으로 재미있는 실험을 해 보자. 먼저 두꺼운 종이 위에 정삼각형 ABC를 그려서 오려 낸다. 두 변 AB, AC을 이등분한 점을 D, E라 하고, 선분 DE를 그은 뒤 잘라 내면 작은 정삼각형 한 개와 등변사다리꼴 한 개를 얻는다.(그림 6) 이런 과정을 세 번 반복한다. 또 선분 DE를 한 변으로 하는 정사각형 두 개를 더 그려서 오려 낸다. 이렇게 얻은 도형 중 정사각형 한 개, 정삼각형 두 개, 등변사다리꼴 두 개를 이어 붙이면 정사면체의 반쪽에 해당하는 입체도형을 한 개 얻는다. 이 과정을 되풀이 해 이런 입체도형을 하나 더 만든다. 이제 만들어진 두 입체도형을 서로 맞대어 보라. 잘 관찰하여 맞대면 어느 순간 두 개의 입체도형은 정사면체가 된다.(그림 7, 8)