낙서 그림에서 점의 개수를 수로 표현해 보라. 어느새 낙서는 1부터 9까지의 자연수를 배열한 정사각형 모양으로 바뀐다.(그림 2) 이 수들의 배열에는 어떤 수학적 규칙이 숨어 있는 걸까? 먼저 두 수의 합을 생각하자. 1부터 9까지의 자연수 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 중 5를 중심으로 두 수(4와 6, 3과 7, 2와 8, 1과 9)의 합을 구해 보자. 모두 10이다. 이번엔 세 수들의 합을 구해 보자. 정사각형 모양의 수 배열에서 가로 방향으로 배열된 세 수의 합은 15(4+9+2, 3+5+7, 8+1+6)이며, 세로 방향으로 배열된 세 수의 합도 15(4+3+8, 9+5+1, 2+7+6)이고, 대각선 방향으로 배열된 세 수의 합도 15(4+5+6, 2+5+8)임을 알 수 있다. 1부터 9까지의 자연수를 모두 더하면 45가 되는데, 이것을 3으로 나누면 15가 된다. 이런 수의 배열은 너무나 신비로운(魔) 정사각형 모양(方) 배열(陣)이라 하여 보통 마방진(魔方陣)이라고 불린다.

관찰하고 추측하기

1. 마방진에 배열된 수들에는 어떤 기하학적 비밀이 있을까? 마방진에 배열된 수 1에서 출발해서 차례로 9까지 선을 그은 뒤 다시 9에서 1까지 이어 보라. 선들의 움직임이 그려 낸 모양은 5를 중심으로 대칭이다.(그림 3) 마방진에는 기하학적 디자인도 숨어 있는 셈이다.

2. 수학에선 수 α를 거듭해서 곱한 값을 α의 거듭제곱이라고 한다. 2의 거듭제곱을 2부터 차례로 9개만 나열하면 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512이다. 이 수들을 적절히 배열하면 가로, 세로, 대각선의 위치에 놓인 수들을 곱한 값이 모두 같아진다.(그림 4) 왜 그럴까? 앞의 9개의 수들을 2의 거듭제곱 꼴로 고치면 각각 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29이다. 예를 들어, 가로 방향으로 배열된 세 수 16, 512, 4의 곱은 세 수 24, 29, 22을 곱한 것과 같으므로 2를 15번(4+9+2) 곱한 셈이다. 결국 가로, 세로, 대각선 방향으로 배열된 세 수의 곱은 모두 215(2를 15번 곱한 것)이 된다. 관찰은 문제 해결의 첫걸음이다.