관찰하고 추측하기

1. 끈을 이용해 타원 모양을 그려 보자. 적당한 길이의 끈을 느슨하게 해 종이 위에 두 개의 압정으로 끈의 양끝 부분을 두 지점 A, B에 고정한다. 연필로 팽팽하게 해 회전시키면 연필 끝을 따라 종이 위에 타원 모양이 그려진다.(그림 4) 수학에선 두 지점 A, B를 타원의 초점이라고 부른다. 그런데 그려진 타원을 잘 관찰하면 타원은 대칭축이 두 개뿐임을 알 수 있다. 보통 긴 대칭축을 장축, 짧은 대칭축을 단축이라 부른다. 원에 무수히 많은 대칭축이 있는 반면, 타원에는 두 개의 대칭축만 있다. 대신 원에는 초점이 없고 타원엔 초점이 있다.

2. 이번엔 타원의 중요한 성질을 관찰해 보자. 타원 위에 임의로 점을 하나 찍어 R로 표시하자. 이때 두 점 A, R을 잇는 선분과 R에서의 접선이 이루는 각이 두 점 B, R을 잇는 선분과 R에서의 접선이 이루는 각과 같다.(그림 5) 따라서 점 A에 전구를 놓아 불을 밝히면 불빛이 R에서 반사해 B에 모이게 된다. 이 성질을 이용한 기계장치가 신장결석파쇄기다. 먼저 특별히 제작된 욕조에 따뜻한 물을 채워 환자를 적절한 위치에 고정시킨다. 욕조 아랫쪽 타원체(타원을 회전시켜 얻은 입체도형)의 끝에 반사경 컵이 달려 있고 전극봉이 타원의 초점 위치에 달려 있다.(그림 6) 엑스선 형광 투시경을 이용해 환자의 신장결석이 타원의 다른 초점 위에 일치되도록 환자를 자리 잡게 할 수 있다. 전극봉에서 만들어진 충격파가 타원체의 면에 반사되어 신장의 결석을 부수게 된다. 신장결석파쇄기는 타원의 성질을 생활에 잘 응용한 사례 가운데 하나다.

조금 더 생각하기

원 모양의 색종이(그림 7)를 준비해 타원 모양을 접어 보자. 먼저 원의 중심을 뺀 아무 곳에나 점을 진하게 표시하자. 종이를 접어 이 점이 원 둘레 위의 점과 일치하도록 주름을 낸다.(그림 8) 이런 과정을 여러 번 반복하면 색종이에 생긴 주름들이 타원 모양을 만들어 낸다. 그림에서 원 안에 그려진 선분들은 색종이를 접어서 생긴 주름들을 표현한 것이다.(그림 9) 원의 중심 가까이에 점을 찍어 주름을 만들면 원의 모양에 가까운 뚱뚱한 타원 모양이 되고, 원의 중심 멀리에 점을 찍어 주름을 만들면 날씬한 타원 모양이 된다.